Quando a velocidade de uma partícula muda, dizemos que essa partícula sofre uma aceleração (ou simplesmente é acelerada). Para o movimento ao longo de um eixo, a aceleração média amed ocorrida em um intervalo de tempo Δté dada pela expressão:
Na qual a partícula possui velocidade v1no tempo t1e depois, velocidade v2no tempo t2. A aceleração instantâneaou simplesmente aceleraçãoé dada pela igualdade:
Ou seja: a aceleração de uma partícula em qualquer instante de tempo é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a declividade da curva de v(t)naquele ponto. Combinando as equações já vistas, podemos escrever:
Ou seja, a aceleração de uma partícula em qualquer instante de tempo é a segunda derivada da posição x(t)em relação ao tempo. No SI, a unidade de aceleração é o metro por segundo por segundo m/(s.s) ou m/s2. As outras unidades aparecem na forma comprimento / (tempo . Tempo) ou comprimento / tempo2. A aceleração tem magnitude e direção, sendo portanto uma quantidade vetorial. O seu sinal algébrico + ou – representam o sentido assumido em um eixo, da mesma forma que foi visto para o deslocamento e para a velocidade, isto é, uma aceleração com valor positivo, acelera no sentido positivo de um eixo e uma aceleração com valor negativo, acelera no sentido negativo do eixo.A figura abaixo é o gráfico da aceleração de um elevador, discutido anteriormente. Compare a curva a(t)com a curva v(t)– cada ponto da curva a(t)mostra a derivada (declividade) da curva v(t)no tempo correspondente. Quando vé constante (em 0ou 4 m/s), a derivada é zero, assim como também, a aceleração. Quando o elevador começa a se movimentar, a curva v(t)tem uma derivada positiva (a declividade é positiva), significando que a aceleração também é positiva. Quando o elevador diminui a velocidade até parar, a derivada e a declividade da curva v(t)são negativas, isto é, a(t)é negativa.
Em seguida, compare as declividades da curva v(t)durante os dois períodos de aceleração e observe que a magnitude da desaceleração e maior do que a magnitude da aceleração e que nos instantes em que a velocidade é constante a aceleração é nula conforme está ilustrado no gráfico.
Position – posição;
Velocity – velocidade;
Acceleration – aceleração;
Deceleration – desaceleração;
Slope of – declividade de.
As sensações que você sentiria ao viajar no elevador da figura acima estão indicadas nos desenhos do menino, na parte inferior da figura. Quando o elevador começasse a acelerar, você se sentiria como que pressionado para baixo, mais tarde, quando o elevador freiasse até parar, você se sentiria como que esticado para cima. Na situação intermediária, você nada sentiria. Isso quer dizer que o seu corpo reage a acelerações (ele é um acelerômetro), porém não reage a velocidades (ele não é um velocímetro). Quando você está viajando em um carro a 90 km/h ou em avião a 900 km/h, seu corpo não sente nada em relação ao movimento. Todavia, se o carro ou avião mudarem rapidamente de velocidade, você perceberá a mudança e talvez fique até assustado.
Um exemplo mais radical é mostrado nas fotografias abaixo, que foram tiradas enquanto uma cápsula de foguete foi rapidamente acelerada sobre um trilho e repentinamente freada até parar.
Observe os efeitos que a aceleração causa sobre o ocupante da cápsula.
Grandes acelerações são algumas vezes expressas em termos de unidades g, onde
1g = 9,8 m/s2 (unidade g)
Em uma montanha russa, você pode experimentar breves acelerações acima de 3g, ou seja, (3)(9,8 m/s2) ou cerca de 29 m/s2, mais do que suficiente para justificar o preço do passeio.
 |
| Numa montanha russa é possível atingir acelerações até 3g. |
Dicas para resolução de problemas
O sinal da aceleração: Em linguagem comum, o sinal da aceleração não possui significado científico: uma aceleração positiva indica que a velocidade de um objeto está aumentando, e uma aceleração negativa indica que a velocidade está diminuindo (o objeto está desacelerando). Todavia, em nosso estudo, o sinal de uma aceleração indica um sentido e não se a velocidade de um objeto está diminuindo ou aumentando.
Por exemplo: Se um carro com uma velocidade inicial v = - 25m/s é freado e pára após 5.0 s, então a amed = + 5.0 m/s. A aceleração é positiva, porém a velocidade do carro estava diminuindo. A explicação é a diferença de sinais: o sentido da aceleração é oposto ao sentido da velocidade.
- Aqui está uma forma apropriada de interpretar os sinais:
Se os sinais da velocidade e da aceleração de uma partícula são iguais, então a velocidade da partícula está aumentando. Se os sinais são opostos, a velocidade está diminuindo.
Verificação de aprendizagem.
Um tatu move-se ao longo do eixo x. Qual é o sinal de sua aceleração se ele se mover:
Na direção positiva com a velocidade aumentando;
Na direção positiva com a velocidade diminuindo;
Na direção negativa com a velocidade aumentando;
Na direção negativa com a velocidade diminuindo?
 |
| Lá vai o tatu. |
A posição de uma partícula sobre o eixo da figura abaixo é dada pela expressão:
x = 4 – 27t + t3,
com x em metros e t em segundos.
Positive direction – direção positiva
Negative direction – direção negativa
Origin - origem
Uma vez que a posição x depende do tempo t, a partícula pode estar se movendo. Determine a função velocidade da partícula v(t) e a função aceleração a(t).
Solução:
1 - Para obter a função velocidade v(t), derivamos a função posição x(t) em relação ao tempo t.
2 – Para obter a função aceleração a(t), derivamos a função velocidade v(t) em relação ao tempo t.
Cálculos:
Diferenciando a função posição x(t), obtemos:
Com vem metros por segundos. Derivando a função velocidade em relação ao tempo t, obtemos:
(b) Determine o tempo t para o qual v = 0.
Como
logo t = 9 s e t = - 9 s
Assim, a velocidade é nula 3s antes do cronômetro marcar 0s e 3s após o cronômetro marcar 3s.
(c) Descreva o movimento da partícula para t ≥ 0.
Precisamos analisar as expressões x(t), v(t) e a(t). Quando t = 0, a partícula está em x(0) = + 4 me movendo-se com uma velocidade de v(0) = -27 m/s, isto é, no sentido negativo do eixo x. Sua aceleração é a(0) = 0 porque até então, a velocidade da partícula não está mudando.
Para 0 < t < 3s, a partícula ainda possui uma velocidade negativa, logo ela continua movendo-se no sentido negativo do eixo x, no entanto sua aceleração não é mais nula, mas está aumentando e é positiva. Uma vez que os sinais da velocidade e da aceleração são opostos, a partícula está ficando mais lenta.
Na verdade, já sabemos que ela pára momentaneamente quando t = 3 s. Substituindo t = 3 s na expressão x(t), descobrimos que a posição da partícula é x = - 50 m e sua aceleração ainda é positiva.
Para t > 3 s, a partícula move-se para a direita no eixo x.Sua aceleração permanece positiva e cresce progressivamente em magnitude. A velocidade é agora positiva e também cresce progressivamente em magnitude.
Aceleração constante: Um Caso Especial
Em muitos tipos de movimento, a aceleração pode ser constante ou praticamente constante. Por exemplo: você pode acelerar um carro a um taxa aproximadamente constante, quando o semáforo muda de vermelho para verde. Então o gráfico de sua posição, velocidade e aceleração seria parecido com o gráfico da figura abaixo:
Slope varies – declividade varia
Perceba que a(t)na figura c é constante, o que faz com que a curva v(t) na figura b apresente uma declividade constante. Depois, quando você freia o carro até parar, a aceleração (ou a desaceleração) também pode ser aproximadamente constante.
Casos semelhantes são tão comuns de acontecer que um conjunto de equações especiais foram deduzidas a fim de lidarem com essas situações. Lembre-se que:
Essas equações são válidas somente quando a aceleração é constante (ou situações nas quais a aceleração pode ser considerada constante).
Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais e podemos escrever a equação abaixo:
Aqui, v0 é a velocidade no tempo t = 0 e vé a velocidade para qualquer tempo posterior t. Podemos re – escrever esta equação como:
v = v0 + at. (2-11)
Note que a equação acima reduz-se a v = v0 para t = 0, como deveria ser; além do mais, ao derivarmos a referida equação em relação ao tempo t, teremos dv/dt = a, que é a definição de a A figura abaixo mostra um gráfico da equação acima. A função v(t) é linear, sendo o seu gráfico uma reta.
Velocity = velocidade
Slope = declividade
Da mesma forma, podemos reescrever a equação (com algumas mudanças na notação)
como:
e então como:
x = x0 + vmed t (2-12)
Na qual x0é a posição da partícula quando t = 0 e vmedé a velocidade média entre t = 0 e um tempo posterior t.
Na função linear da equação x = x0 + vmed t, a velocidade média em qualquer intervalo de tempo (digamos de t = 0até um tempo t) é a média das velocidades no início do intervalo (= v0) e a velocidade no final do intervalo (= v). Para o intervalo de t = 0 até o tempo t, a velocidade média será:
(2-13)
Substituindo o lado direito da equação (2-11) por v e rearranjando, teremos:
(2-14)Finalmente, substituindo a Eq. 2-14 na Eq. 2-12, teremos:
(2-15)Só para conferir, note que fazendo t = 0, teremos x = x0, como deveria ser. Além do mais, derivando a Eq. 2-15 em relação ao tempo t, obteremos a Eq. 2-11, como deveria ser.
A figura abaixo mostra um gráfico da Eq 2-15. A função é quadrática e assim o gráfico é uma curva.
Position - posiçãoO
